正确答案 ：A

解析

本题考查刑法。
甲有杀死张老太的故意并且着手实施了投毒的犯罪行为，并且张老太的死亡是由于甲的投毒行为所导致的，成立犯罪既遂。故本题答案为A。
B项：犯罪预备是指为了实施犯罪，准备工具、制造条件，但由于行为人意志以外的原因未能着手实行犯罪的形态。
C项：犯罪未遂是指已经着手实行犯罪，由于犯罪分子意志以外的原因（如工具或对象）而未得逞。
D项：犯罪中止是指在犯罪过程中，自动地放弃犯罪或自动有效的防止犯罪结果发生。在本案中，甲已经实施了投毒行为，虽然有中止的表现行为，但是没有有效的防止张老太死亡结果的发生，故不认定为犯罪中止。