正确答案 ：C

解析

【金标尺答案】C。本题考查公务员法。
《公务员法》第六十一条第二款规定，对同一违纪违法行为，监察机关已经作出政务处分决定的，公务员所在机关不再给予处分。可知，甲市监察委已经对刘某作出了政务处分，相关主管部门不应当再给予处分。故本题答案为C。
A项：《公务员法》第九十五条第一款第一项规定，公务员对涉及本人的下列人事处理不服的，可以自知道该人事处理之日起三十日内向原处理机关申请复核；对复核结果不服的，可以自接到复核决定之日起十五日内，按照规定向同级公务员主管部门或者作出该人事处理的机关的上一级机关提出申诉；也可以不经复核，自知道该人事处理之日起三十日内直接提出申诉：（一）处分；可知，刘某对于给予自己记大过处分的人事处理不服的，可以向原处理机关即甲市监察委申请复核，而不是提出申诉。
B项：《公务员法》第六十四条第三款规定，受撤职处分的，按照规定降低级别。可知，对公务员的处分除直接降级外，只有撤职需要降低级别，仅是记大过处分并不需要降低级别。D项：《公务员法》第六十四条第一款规定：公务员在受处分期间不得晋升职务、职级和级别，其中受记过、记大过、降级、撤职处分的，不得晋升工资档次。可知，刘某受记大过处分，处分期间不得晋升工资档次。