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A
赵某应当自2023年4月1日起一年内提出仲裁
B
若仲裁委员会认为不符合受理条件的，可以书面或者口头方式通知赵某不予受理
C
若赵某和甲公司协议不公开进行仲裁，但由于该案件不涉及国家秘密、个人隐私和商业秘密，所以仍然应当公开进行
D
仲裁庭在作出裁决前，应当先行调解
正确答案 ：D
解析
【事考帮答案】D。考查法律-劳动争议调解仲裁法。
A项：《劳动争议调解仲裁法》第二十七条第一、四款 【仲裁时效】劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。劳动关系存续期间因拖欠劳动报酬发生争议的，劳动者申请仲裁不受本条第一款规定的仲裁时效期间的限制；但是，劳动关系终止的，应当自劳动关系终止之日起一年内提出。据此，赵某与甲公司因为拖欠工资发生劳动争议，赵某应当自劳动关系终止之日（即2023年12月10日）起一年内提出仲裁。故A错。
B项：《劳动争议调解仲裁法》第二十九条 【仲裁申请的受理和不予受理】劳动争议仲裁委员会收到仲裁申请之日起五日内，认为符合受理条件的，应当受理，并通知申请人；认为不符合受理条件的，应当书面通知申请人不予受理，并说明理由。对劳动争议仲裁委员会不予受理或者逾期未作出决定的，申请人可以就该劳动争议事项向人民法院提起诉讼。据此，仲裁委员会应当以书面形式通知不予受理。故B错。
C项：《劳动争议调解仲裁法》第二十六条 【仲裁公开】劳动争议仲裁公开进行，但当事人协议不公开进行或者涉及国家秘密、商业秘密和个人隐私的除外。据此，赵某和甲公司协议不公开，可以不公开。故C错。
D项：《劳动争议调解仲裁法》第四十二条第一款 【仲裁庭调解】仲裁庭在作出裁决前，应当先行调解。故D对。
综上，故本题选D。
